关于“简单线性规划”教学的探讨

      新编高中教材中“简单线性规划”部分，有些问题不够明白，若作适当改变，效果将会截然不同。

      一、二元一次不等式表示平面区域的问题

      教材中指出：二元一次不等式Ax+By+C>0, 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点

(x_0，y₀),从Ax₀+By₀+C的正负号即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧的平面区域。特殊的，当C不等于0时常把原点作为此特殊点。教材在这一点是讲得比较清楚明白的。对于直线某一侧的点代入二元一次多项式所得的符号相同，教材在提出结论之前已经证明了，但是同学们还是不大理解，而且也不明白 。我认为用以下的解说会更适合学生的思维方式，学生会更容易接受。

      二元一次不等式Ax+By+C>0表示的表示的平面区域，分下列两种情况考虑：

      1、当B=0时，Ax+By+C>0即Ax+C>0表示的平面是Ax+C=0的一侧，即x=-C/B的一侧。当A>0时，Ax+C>0可化为x>-C/A；当A<0时，Ax+C>0可化为x<-C/A。所以，当为x>-C/A时，在x=-C/A的右侧；当为x<-C/A时，在x=-C/A的左侧。

      2、当B不等于0时，若B>0，原不等式可化为y>-A/Bx-C/B；若B<0，原不等式可化为y<-A/Bx-C/B。由于y=-A/Bx-C/B表示斜率为-A/B，纵截距为-C/B的直线，其上任一点（x_0,y₀)有y₀=-A/Bx₀-C/B。在不等式y>-A/Bx-C/B中，当x取x₀时，y>-A/Bx₀-C/B，即y>y₀,也就是说对于任何x=x₀，不等式中的y都大于对应的直线中的y₀值，即不等式y>-A/Bx-C/B表示的平面区域上直线y=-A/Bx-C/B上方的那一侧的所有的点集。同理，y<-A/Bx-C/B表示直线y=-A/Bx-C/B下方的区域。这样学生听起来就容易得多。这不仅解决了Ax+By+C>0所表示的区域是什么区域的问题，同时也解决了判断表示的区域的方法。

      二、在可行域内目标函数值的变化问题

      教材首先讨论了如下问题：

      设z=2x+y,式中变量x,y满足下列条件：

      x-4y<=-3

      3x+5y<=25 （1）

      x>1

      求z的最大值和最小值。

      先由上面知道变量x,y所满足的每个不等式，都表示平面区域，不等式组（1）则表示这些平面区域的公共区域，从右图可知，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0,y=0时，z=2x+y=0，点（0，0）在直线l₀:2x+y=0上。作一组与l₀平行的直线l:2x+y=t,  t属于R，可知当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y）满足：2x+y>0。即t>0，而且直线l往右平移，t随之增大。（1）所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过A（5，2）直线l₂所对应的t最大，以经过点B（1，1）的直线l₁所对应的t最小，所以

      z_max=2x5+2=12

      z_min=2x1+1=3

      以上的叙述不够清楚，学生较难理解，甚至会造成误解。我认为用下面的叙述学生会容易明白些：将2x+y=t化为y=-2x+t，当直线l向上平移时，其纵截距t随之增大。也可以用横截距来说明：当直线l向右平移时，直线在x轴上的截距随之增大，而直线在x轴上的截距为t/2,当t/2增大时，t也随之增大。或者我们也可以这样说明：在可行域内取得最大值最小值，一定在可行域的最顶点或最边缘，可以先求出各顶点（x，y）时t的值，再比较其大小。不过，这要在理解 了目标函数是线性变化的情况 下才可以明白。此外，在给出A，B的坐标时应该说明这是由两直线方程求出两交点的坐标，这才保证数学的严密性。

      （本文刊登于2003年第8期《中外教学研究》）